TUM - Chair VII - Foundations of Software Reliability and Theoretical Computer Science


	Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Sommer 2009

Vorlesungsinhalt:

Organisatorisches
1. Vorlesungsinhalt
2. Literatur
3. Einleitung
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
1. Grundlagen
  1. Wahl der Wahrscheinlichkeiten
  2. Historische Anfänge der Wahrscheinlichkeitstheorie
2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
3. Unabhängigkeit
4. Zufallsvariablen
  1. Grundlagen
  2. Erwartungswert und Varianz
    1. Rechenregeln füur den Erwartungswert
    2. Varianz
  3. Mehrere Zufallsvariablen
    1. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
    2. Zusammengesetzte Zufallsvariablen
    3. Momente zusammengesetzter Zufallsvariablen
5. Wichtige diskrete Verteilungen
  1. Bernoulli-Verteilung
  2. Binomialverteilung
  3. Geometrische Verteilung
  4. Poisson-Verteilung
    1. Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung
6. Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten
  1. Die Ungleichungen von Markov und Chebyshev
  2. Gesetz der großen Zahlen
  3. Chernoff-Schranken
    1. Chernoff-Schranken für Summen von 0-1-Zufallsvariablen
7. Erzeugende Funktionen
  1. Einführung
    1. Zusammenhang zwischen der w.e. Funktion und den Momenten
  2. Summen von Zufallsvariablen
    1. Zufällige Summen
  3. Rekurrente Ereignisse
8. Formelsammlung
  1. Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen
  2. Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen
  3. Gesetze zum Rechnen mit Zufallsvariablen
Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
1. Einführung
  1. Motivation
  2. Kontinuierliche Zufallsvariablen
  3. Kolmogorov-Axiome und σ-Algebren
    1. σ-Algebren
    2. Kolmogorov-Axiome
    3. Lebesgue-Integrale
  4. Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen
    1. Funktionen kontinuierlicher Zufallsvariablen
    2. Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen
    3. Erwartungswert und Varianz
    4. Laplace-Prinzip in kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräumen
2. Wichtige stetige Verteilungen
  1. Gleichverteilung
  2. Normalverteilung
  3. Exponentialverteilung
    1. Eigenschaften der Exponentialverteilung
    2. Exponentialverteilung als Grenzwert der geometrischen Verteilung
3. Mehrere kontinuierliche Zufallsvariablen
  1. Mehrdimensionale Dichten
  2. Randverteilungen und Unabhängigkeit
  3. Warteprobleme mit der Exponentialverteilung
  4. Summen von Zufallsvariablen
  5. Momenterzeugende Funktionen für kontinuierliche Zufallsvariablen
4. Zentraler Grenzwertsatz
  1. Normalverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung
  2. Elementarer Beweis des Grenzwertsatzes von de Moivre für p = 1/2
  3. Verschiedene Approximationen der Binomialverteilung
Induktive Statistik
1. Einführung
2. Schätzvariablen
  1. Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen
3. Konfidenzintervalle
4. Testen von Hypothesen
  1. Einführung
  2. Praktische Anwendung statistischer Tests
  3. Allgemeines Vorgehen bei statistischen Tests
  4. Ausgewählte statistische Tests
    1. Wie findet man das richtige Testverfahren?
    2. Ein-Stichproben-Tests für Lageparameter
    3. Zwei-Stichproben-Tests für Lageparameter
    4. Nicht an Lageparametern orientierte Tests
Stochastische Prozesse
1. Einführung
2. Prozesse mit diskreter Zeit
  1. Einführung
  2. Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten
  3. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten
  4. Das Gamblers Ruin Problem
  5. Stationäre Verteilung
  6. Doppeltstochastische Matrizen
3. Prozesse mit kontinuierlicher Zeit
  1. Einführung
  2. Warteschlangen
    1. M/M/1-Warteschlangen