Logik WS 07/08

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Die Logik ist eine wichtige Grundlage für die Informatik. Dabei konzentriert sich das Interesse der Informatik neben den klassischen Fragestellungen der Logik wie "Was ist eine wahre Aussage?", "Was ist ein Modell?" oder "Was kann man mit Axiomensystemen beschreiben?", vor allem auf Anwendungen, die Logik als Spezifikations- oder Programmiersprache (z.B. PROLOG) verwenden. Logik wird zum Schaltkreisentwurf, als Datenbank-Abfragesprache und im Bereich der Programm-Verifikation und des automatischen Beweisens eingesetzt. Außerdem sind die strikte Trennung zwischen Syntax und Semantik, wie sie in der Logik vorgenommen wird, und die Möglichkeit, Sachverhalte formal und eindeutig zu beschreiben, wichtige Eigenschaften der Logik, die sie für die Informatik unentbehrlich machen.

Logische Trugschlüsse und "falsche" Argumente kommen auch häufig im Alltag vor. Eine systematische Untersuchung logischer Systeme hilft auch da, sich nicht täuschen zu lassen. Hier finden Sie eine reiche Auswahl von unlogischen aber häufig verwendeten Argumentationen.

Geschichte der Logik — Kurzüberblick:

Aristoteles

Erste systematische Erforschung der Prinzipien des logischen Schließens. Eine englische Übersetzung seines Buchs Analitica priora finden Sie hier. Aristoteles ist auch der Vater des Syllogismus. Hier können Sie mit Syllogismen spielen.

Euklid

Anwendung der axiomatischen Methode des logischen Schließens auf die Geometrie

Leibniz

Entwickelte die Differential- und Integralrechnung, aber auch eine Rechenmaschine und vieles mehr. Formulierte als erster das Ziel einer universellen Sprache zur Formalisierung aller mathematischen Aussagen und ein Kalkül zur Herleitung aller wahren Aussagen. Hier finden Sie zwei grundlegende Artikel von Leibniz.

Boole

Erste mathematische Formalisierung der Aussagenlogik als Algebra (1854).

Cantor

Erfinder der Mengenlehre, der Transfiniten Mengen, des Diagonalschlusses, der Kontinuumshypothese, ...

Frege

Erste mathematische Formalisierung der Prädikatenlogik mittels einer graphischen Notation (1879).

Hilbert

Einer der bedeutendsten Mathematiker dieses und des letzten Jahrhunderts. Formulierte als erster (1900) zwei grundlegende Ziele der Logik:

• Beweis der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik ( = Logik + Natürliche Zahlen) innerhalb der Arithmetik selbst;
• Entwicklung einer Methode zur Berechnung aller wahren mathematischen Aussagen.

Russell

Logiker, Philosoph und Friedensaktivist. Leitete die erste Krise der Logik ein mit dem Russell-Paradox der Menge R := { M | M ist kein Element von M} (1901). Ist R ein Element von R? Führt zu einem Widerspruch im System von Frege. Entwickelte mit Whitehead die moderne Prädikatenlogik und Mengenlehre (1910-1913) indem er Typen zur Vermeidung von Aussagen wie "M ist Element von M" benutzt.

Gödel

Wohl der bedeutendste Logiker diese Jahrhunderts. Zeigte die Vollständigkeit und damit Widerspruchsfreiheit der Prädikatenlogik (1930). Leitete die zweite Krise der Logik ein, indem er zeigte, dass die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik innerhalb der Arithmetik nicht nachgewiesen werden kann (1931). Erster Todesstoß für Hilberts Programm. Klicken Sie hier, wenn Sie mehr über Gödels Unvollständigkeitssatz erfahren wollen.

Gentzen

Entwickelte zwei noch heute grundlegende Kalküle für Prädikatenlogik, das "natürliche Schließen" und das "Seqenzenkalkül" (1934).

Church

Entwickelte den lambda-Kalkül, die Grundlage aller funktionalen Programmiersprachen. Zeigte, dass es keinen Algorithmus gibt, der für jede mathematische Aussage entscheidet, ob sie wahr oder falsch ist (1936). Zweiter Todesstoß für Hilberts Programm; große Erleichterung bei allen professionellen Mathematikern.

Alan Robinson

Erfindet das Resolutions-Kalkül, die erste effektive Methode des automatischen Beweisen in der Prädikatenlogik (1965).